Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
11:07 

Diary best
Искатель @сокровищ
Пишет Лис:

Иногда один кадр, одно мгновение, выхваченное из жизни, способно заменить тысячу слов


читать дальше

URL записи

Не свое | Не Бест? Пришли лучше!


Вопрос: Бест?
1. Да!  307  (100%)
Всего: 307

@темы: Не свое

10:57 

Diary best
Искатель @сокровищ
Пишет Taho:

Колибри: миниатюрное чудо природы
Колибри являются самыми мелкими птицами на Земле. Учёным известно более 330 видов колибри, и каждый из них имеет свой неповторимый окрас. Фотографировать этих птиц достаточно непросто, ведь некоторые виды колибри способны совершать до 100 взмахов крыла в секунду.

Колибри: миниатюрное чудо природы
Atthis ellioti.

читать дальше

URL записи

Не свое | Не Бест? Пришли лучше!


Вопрос: Бест?
1. Да!  170  (100%)
Всего: 170

@темы: Не свое

12:42 

Мотоко Кусанаги

Lerno
Главное - сделать первый шаг. А потом сотни, тысячи последующих
фанарт по призраку в доспехах
">

@темы: Fanart

11:04 

Океан Ельзи - Квiтка

Sly
so long and goodnight

@темы: Foreign

11:03 

Аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля

Доброго времени суток!

Я пытаюсь изучать аксиоматическую теорию множеств. Решил начать с ZF как наиболее популярной. Вопросов значительно больше, чем ответов. Да и вопросы сформулировать, увы, здесь не всегда просто. Просто сплошная непонятность! Попытаюсь наиболее ясно сформулировать непонятные мне моменты.

I) В любой аксиоматической теории вводятся неопределяемые объекты и отношения между ними. Например, в евклидовой геометрии такими неопределяемыми объектами являются "точка", "прямая", "плоскость", "движение", а неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "инцидентность" и тернарное отношение "лежит между" (согласно немного видоизмененной аксиоматике Гильберта, приведенной в книге Костина "Основания геометрии" () . В теории Пеано натуральных чисел неопределяемым объектом является "натуральное число", а неопределяемым отношением - бинарное отношение "следовать за". В связи с этим возникает вопрос. Какие неопределяемые понятия и отношения используются в аксиоматике ZF? С моей точки зрения, неопределяемыми понятиями должны быть "множества", "элементы", неопределяемыми отношениями - бинарное отношение "принадлежит" (∈ (), "равно" (=). Но если я прав (хотя, не похоже), почему тогда во всех аксиомах ZF используются только малые латинские буквы? Иначе говоря, почему на уровне букв не делается различия между "множествами" и "элементами"? В книге Н. И. Казимирова "Введение в аксиоматическую теорию множеств" на стр. 4 в первом абзаце утверждается: " В теории множеств (как в наивной, так и в формальной) мы любой объект считаем множеством, т. к., во-первых, это ничуть не мешает нам моделировать при помощи теории множеств реальные объекты, а во-вторых, это упрощает построение самой теории". Т. е. нет понятия "элемент" в аксиоматике ZF? Выходит, что элементами любого множества в ZF являются элементы, сами являющиеся множествами. Но тогда получается, например, следующее. Возьмем, к примеру, множество A, состоящее из числа 1: A={1}. Верным будет утверждение 1 ∈ A. Но 1 - само множество! Что ему тогда принадлежит? 1? Т. е. 1 ∈ 1? Так что ли поступают в аксиоматической теории множеств? (Напомню, что во многих учебниках по наивной теории множеств запись 1 ∈ 1 признается не имеющей смысла; верно лишь, что 1 {1}). Я заранее прошу прощения за большую выдержку из упомянутой книги Казимирова, но вот что он сам пишет по поводу такого странного положения дел:

"С самого начала мы предположили, что все множества, какие мы рассматриваем в наивной (канторовской) теории множеств представляют из себя произвольные наборы множеств, никаких других ограничений на понятие множества мы не накладывали. Покажем, что такое достаточно произвольное определение множества не может быть корректным с точки зрения логики, ибо приводит к противоречию. Следующий парадокс, который мы получим здесь, называется парадоксом Расселла.
Поскольку атомарная формула х у, выражающая принадлежность множества х к множеству у, имеет смысл для любых множеств х и у, ничто не мешает нам рассмотреть такой ее вид: х х. С точки зрения здравого смысла формула х х должна быть ложной для любого множества х, ибо мы считаем, что часть некоего объекта (в данном случае множества) не может совпадать с самим этим объектом. Поэтому мы вводим следующее определение: множество х такое, что х x, называется регулярным, а множество х, для которого хх, назовем сингулярным.
Снова нам ничто не мешает собрать все регулярные множества в одно множество R, точнее, R={x|x x}. Попытаемся теперь ответить на следующий вопрос: регулярно или сингулярно множество R?
Предположим, что множество R регулярно, т.е. R R. Но тогда R удовлетворяет тому свойству, которым оно само определено, значит, R R. Противоречие. Предположим тогда, что R сингулярно, т. е. R R. Но тогда R не удовлетворяет тому свойству, которым определены его элементы, следовательно, R R. Противоречие.
Итак, множество R не регулярно и не сингулярно, чего быть не может, если мы принимаем закон исключенного третьего (либо А, либо не А). Так может быть, R — не множество?
Полученный парадокс, как может показаться, доказывает несостоятельность самой идеи множества, как высшей точки абстракции в математических науках. На самом же деле весь тот путь, который мы прошли при построении множеств и при рассмотрении парадокса Расселла, уже дает предпосылки к решению этого парадокса. Мы с самого начала считали, что множество есть произвольная совокупность (множеств), что привело к построению парадоксального множества R. Насколько велико это множество, мы также не знаем, ибо мы предположили существование сингулярных множеств. С другой стороны, если предположить, что все множества регулярны, то R будет просто множеством всех множеств. Конечно, это не избавляет нас от противоречия, но зато дает повод попытаться исключить из рассмотрения сингулярные множества, а также «слишком
большие» совокупности множеств путем навязывания множествам некоторых условий или, как принято говорить, аксиом".

Но в нашем случае речь идет не о "больших множествах", а всего лишь о множестве, состоящем из одного элемента. И, по определению Казимирова, оно сингулярно! Итак, есть ли в теории ZF различие между "множествами" и "элементами"? Что-то уже много написал... Если кто-то поможет ответить, буду искренне признателен. Остальные вопросы в ходе дискуссии. Спасибо!




@темы: Математическая логика

Зеркальная стихия

главная